Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tak negatif

1. Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tak negatif (atau selalu benilai positif dimulai dari angka 0) , yaitu {0, 1, 2, …}. Himpunan bilangan cacah ini sering dikatakan sebagai himpunan bilangan asli yang ditambah dengan 0. Bilangan cacah juga didefinisikan sebagai bilangan yang dimulai dari angka nol. Bilangan cacah biasanya dilambangkan dengan huruf C di depan atau W (diambil dari kata whole). Sehingga penulisannya menjadi C = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …) dan seterusnya.

1. Ciri-Ciri Bilangan Cacah

Bilangan cacah memiliki ciri-ciri sebagai berikut :

1. Merupakan bilangan bulat yang tidak negatif.
2. Merupakan bilangan asli ditambah nol.
3. Simbol dari bilangan cacah adalah C.

1. Operasi pada Bilangan Cacah
2. Penjumlahan

Operasi penjumlahan pada bilangan cacah bersifat :

1. Komutatif (pertukaran), contohnya x+y=y+x
2. Assosiatif (pengelompokkan), contohnya (a+b)+c = a+(b+c)
3. Memiliki unsur identitas 0, contohnya x+0 = 0+x = x
4. Tertutup, yaitu penjumlahan dua bilangan cacah akan menghasilkan bilangan cacah juga.
5. Perkalian

Perkalian antar bilangan cacah merupakan penjumlahan bilangan cacah yang berulang. Dalam operasi perkalian pada bilangan cacah terdapat beberapa sifat, diantaranya

1. Komutatif (pertukaran), contohnya a x b = b x a
2. Assosiatif (pengelompokkan), contohnya (a x b) x c = a x (b x c)
3. Distributif, contohnya (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
4. Memiliki unsur identitas 1, contohnya 1 x a = a x 1 = a
5. Semua bilangan cacah yang dikalikan dengan 0 akan  menghasilkan angka 0.
6. Pengurangan

Untuk operasi pengurangan pada bilangan cacah memiliki sifat yang sama dengan sifat yang dimiliki oleh operasi penjumlahan, yaitu komutatif, assosiatif, identitas dan tertutup. Dalam operasi pembagian juga dikenal dua konsep, yakni :

1. Konsep Mengambil

Contoh :

Terdapat 8 buah apel di dalam kotak. Nina memakannya sebanyak 2 buah. Berapa banyak donat yang tersisa di dalam kotak?

Jawaban : 8 – 2 = 6 apel.

1. Konsep Membandingkan

Contoh :

Mario membeli 150 permen. Rifai mempunyai 123 permen. Berapa selisih permen yang dimiliki Mario dan Rifai?

Jawaban : 150 – 123 = 27.

1. Konsep Menambahkan Bilangan yang Sesuai

Contoh :

Hana memiliki 86 buah bolpoin. Kemudian Hana memberikan 10 buah bolpoin kepada Risma. Berapa bolpoin yang tersisa pada Hana?

Jawaban : Jika 10 + b = 86, maka b = 86 – 10 = 76.

4. Pembagian

Operasi pembagian pada bilangan cacah merupakan kebalikan dari sifat perkalian pada bilangan cacah, jika a x b = c maka c : a = b. Perlu diketahui bahwa bilangan cacah yang dibagi 0 hasilnya adalah tidak terdefinisi dan 0 dibagi bilangan cacah akan menghasilkan 0. Dalam operasi pembagian juga dikenal dua konsep, yakni :

1. Konsep Partisi

Contoh :

22 : 2 = 11 dengan cara membagi 22 ke dalam 2 kelompok. Setelah dibagi sama banyak, ternyata masing-masing kelompok bernilai 11.

1. Konsep Pengukuran atau Pengurangan Berulang

Contoh :

20 : 4 = 20 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4

Untuk mencapai angka 0, 20 harus dikurangi angka 4 hingga lima kali. Jadi, hasil dari 20 : 4 = 5.

1. Perbedaan Bilangan Cacah dan Bilangan Asli
2. Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol. Jadi, bilangan asli dimulai dari angka 1 sampai tak terhingga.

2. Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang dimulai dari nol. Jadi, bilangan cacah dimulai dari angka 0 sampai tak terhingga.

Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah adalah bilangan yang di mulai dari angka nol dan selalu bertambah satu dengan bilangan setelahnya ({ 0, 1, 2, 3, 4 ,5 ,6, …….}) atau himpunan bilangan bulat yang bukan negatif, atau dapat juga di katakan himpunan bilangan asli ditambah nol.

Contoh : kita lihat kumpulan mahasiswa di kelas. Banyaknya mahasiswa yang ada di kelas tersebut dinyatakan dengan suatu bilangan.

Bilangan Cacah: Pengertian, Operasi Hitung dan Sifatnya

Bilangan Cacah: Pengertian, Operasi Hitung dan Sifatnya

Sifat- sifat bilangan cacah

Sifat komutatif

Sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian

Contoh:

5 + 12 = 12 + 5

2 x 15 = 15 x 2

2. Sifat assosiatif (pengelompokan)

Sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian

Contoh:

(2 +7) + 5 = 2 + (7 + 5)

9 + 5 = 2 + 12

14 = 14

(3 x 4) x 2 = 3 x (4 x 2)

 12 x 2 = 3 x 8

 24 = 24

3. Sifat Distributif (penyebaran)

Contoh:

4 x (3 + 5) = (4 x 3) + (4 x 5)

  4 x 8 = 12 + 20

      32 = 32

Operasi Hitung Bilangan Cacah Beserta Sifat-sifatnya

Penjumlahan

Sifat-sifat penjumlahan bilangan cacah adalah sebagai berikut :

1. Sifat Komutatif, yaitu pertukaran.

a+b= b+a

Contoh : 9+5=5+9

2. Sifat Asosiatif, yaitu pengelompokan.

                         (a + b) + c = a + (b + c)

                        Contoh : (2+3)+6= 2+(3+6)

3. Sifat tertutup pada penjumlahan adalah setiap penjumlahan dua atau lebih bilangan cacah selalu menghasilkan bilangan cacah.

Contoh : 2+3 = 5

Bilangan 2 dan 3 merupakan bilangan cacah. Bilangan 5 juga merupakan bilangan cacah

4. Bilangan yang dijumlahkan dengan nol hasilnya bilangan itu sendiri

Contoh :7 + 0 = 7 atau 0 + 5 = 5 Unsur identitas adalah 0

Pengurangan

Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan a – b = c, sama artinya dengan b + c = a. Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a-b dan menghasilkan bilangan cacah c, ditulis jika dan hanya jika a>b.

Contoh : 9-5 = 4 , 9>5

Perkalian

Perkalian adalah hasil proses penjumlahan berulang-ulang.

Contoh = 3×5 = 5+5+5 = 15

Sifat-sifat perkalian bilangan cacah adalah sebagai berikut :

Sifat komutatif (pertukaran), untuk semua bilangan cacah a dan b berlaku a x b = b xa

Contoh : 4 x 5 = 5 x  4 = 20

Sifat asosiatif (pengeleompokan)

(a x b) x c = a x (b x c)

            Contoh :

            (3 x 7) x 2 = 42

            3 x ( 7×2 ) = 42

            Jadi, (3 x 7) x 2 = 3x (7x 2) = 42

Sifat distributif ( penyebaran)

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

(a +b ) x c = (a x c) + (b x c)

c x (a + b) = (c x a) + (c x b)

Contoh : (2+6) x 3 = (2 x 3) + (6 x 3)  =24

               3 x (2+6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24

Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

a x ( b – c) = (a x b ) – ( a x c)

( b – c ) x a = (b x a ) – ( b x a)

Contoh : 3 x ( 4-2 ) = ( 3 x 4 ) – ( 3 x 2) = 6

               ( 4 – 2) x 3 =( 4 x 3) – (  2 x 3) = 6

Unsur identitas perkalian adalah 1

a x 1 = a

Semua bilangan cacah apabila dikalikan dengan nol (0) hasilnya adalah 0. Contoh : 3 x 0 = 0

Sifat perkalian tertutup yaitu semua perkalian bilangan cacah menghasilkan bilangan cacah.

Pembagian

Pembagian adalah kebalikan dari operasi hitung perkalian.

a : b = c => b x c = a

Pembagian bilangan cacah dengan nol tidak didefinisikan sedangkan nol dibagi dengan bilangan cacah hasilnya 0.