AKAR DAN PANGKAT
Akar
Pengertian Akar
Akar adalah dalam bidang matematika untuk melakukan penyelesaian bilangan. Suatu bentuk akar adalah sebuah bilangan akar yang memiliki hasil bilangan irrasional dan bukan termasuk bilangan rasional. Bilangan pangkat dapat dinyatakan dengan bentuk akar.
Akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x. Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan √x.
Contoh :
√400 = √(20 x 20 )
=√(20^2 )
=20
√147 = √(49 x 3 )
=√49 x √3
=7√3
√45 = √(9 x 5 )
=√(3 x 3 x 5)
=√(3^2 ) x √5
=3√5
Fungsi Akar
Fungsi akar kuadrat utama f(x) = √x (biasanya hanya disebut sebagai “fungsi akar kuadrat”) adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R+ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Berikut merupakan grafik fungsi f(x) = √x, menghasilkan setengah parabola dengan irisan kerucut vertikal :
Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional); √x adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.
Bentuk Akar
Pada bentuk akar, tedapat bilangan real, bilangan rasional, dan bilangan asli.
Pada bentuk akar di bawah ini :
√(q&a^p ) x √(t&a^s )= √(qt&a^(pt+qs) )
√(q&a^p )/√(t&a^s ) = √(qt&a^(pt-qs) )
√(q&a^p ) x √(q&a^p )=√(q&〖(a x b)〗^p )
√(q&a^p )/√(q&a^p ) =√(q&(a/b)^p )
Keterangan :
Bilangan Real : a, b dan m, n
Bilangan Rasional : n=p/q dan m=s/t
Bilangan Asli : p, q, s, t
Sifat-Sifat Bentuk Akar
1) Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
a√b+c√b=(a+c) √b
a√b-c√b=(a-c) √b
2) Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
√a x √b=√(a x b)
√a/√b=√(a/b) , b ≠ 0
a√b x c√d=(a x c)√(b x d)
(c√a)/(d√b)=c/d √(a/b) , b ≠ 0 ≠ d
Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Bentuk Pecahan a/√b
a/√b=a/√b x √b/√b=(a√b)/b=a/b √b
Bentuk Pecahan c/(a+√b) atau c/(a-√b)
c/(a-√b)=c/(a-√b) x (a+√b)/(a+√b)=(c(a+√(b)))/(a^2-b)
c/(a+√b)=c/(a+√b) x (a-√b)/(a-√b)=(c(a-√(b)))/(a^2-b)
Pangkat
Pengertian Bilangan Berpangkat
Bilangan berpangkat merupakan suatu bilangan yang berguna untuk menyederhanakan penulisan serta penyebutan suatu bilangan yang mempunyai faktor-faktor perkalian yang sama. Masing-masing perkalian berulang bisa kita tuliskan secara ringkas dengan memakai notasi angka bilangan berpangkat.
Rumus :
Contoh :
2 x 2 x 2 x 2 x 2 =… (dibaca 2 pangkat 5)
5 x 5 x 5 x 5 =… (dibaca 5 pangkat 4)
2. Jenis-Jenis Bilangan Berpangkat
1) Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan berpangkat positif merupakan suatu bilangan yang mempunyai pangkat atau eksponen positif. Eksponen merupakan penyebutan lain dari pangkat. Bilangan berpangkat positif mempunyai sifat-sifat tertentu, yang mana bilangan tersebut terdiri atas a, b, sebagai bilangan real dan m, n, yang merupakan bilangan bulat positif.
Adapun beberapa sifat dari bilangan berpangkat positif, diantaranya ialah sebagai berikut ini :
a m x a n = am+n
a m : a n = am-n , untuk m>n dan b ≠ 0
(am)n = amn
(ab)m = am bm
(a/b)^m = a^m/b^m , untuk b ≠ 0
Bilangan Berpangkat Negatif
Bilangan berpangkat negatif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat atau eksponen negatif (-). Adapun beberapa sifat bilangan berpangkat negatif, antara lain ialah sebagai berikut :
Jika a∈R, a ≠ 0, dan n merupakan bilangan bulat negatif, maka:
a^(-n)=1/a^n
a^n=1/a^(-n)
Bilangan Berpangkat Nol (0)
Sifat dari bilangan berpangkat nol (0) yaitu “Jika nilai a merupakan bilangan riil serta a tidak sama dengan 0, maka a0 = 1″
Berdasarkan dari sifat pembagian bilangan berpangkat positif maka bisa kita dapatkan :
, sehingga a0 = 1
Catatan :
a o = 1
0n = 0
0o = tak terdefinisi
Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan berpangkat pecahan adalah bilangan bulat a yang berpangkat bilangan pecahan, contohnya a^(m/n). a adalah bilangan real, m adalah bilangan pembilang dalam bentuk pangkat, dan n adalah bilangan penyebut dalam bentuk pangkat.
Contohnya a merupakan bilangan real dan a ≠ 0, serta m merupakan bilangan bulat positif, maka a^(1/m) = p merupakan bilangan real positif, sehingga p^m = a.
Sifat-Sifat dan Rumus-Rumus Bilangan Berpangkat
Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan
Pada operasi perkalian bilangan berpangkat pecahan, berlaku sifat-sifat sebagai berikut, yaitu :
Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan
Pada operasi pembagian bilangan berpangkat pecahan, berlaku sifat-sifat sebagai berikut, yaitu :
3) Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat Pecahan
Apabila bilangan berpangkat pecahan dipangkatkan lagi baik itu dengan pangkat bilangan bulat ataupun dengan pangkat pecahan yang berlaku sifat berikut :
atau
Sifat Perpangkatan pada Bilangan Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan
Sifat-sifat perpangkatan pada perkalian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut :
Sifat Perpangkatan pada Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan
Sifat-sifat perpangkatan pada pembagian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut :
Cara Mengubah Pangkat Pecahan Negatif Menjadi Pangkat Pecahan Positif ataupun Sebaliknya
Untuk mengubah suatu bilangan berpangkat pecahan negatif menjadi bilangan berpangkat positif ataupun itu sebaliknya, maka kita dapat menggunakan rumus yaitu sebagai berikut :
atau
Mengubah Bilangan Pangkat Pecahan Menjadi Akar
Bilangan pangkat biasa yang dapat riubah kedalam bentuk bilangan pangkat pecahan, bilangan pangkat pecahan pun juga bisa diubah menjadi bentuk bilangan pangkat akar.
